Demostración: Si una funcion ƒ tiene inversa, entonces la inversa es única.

Sea ƒ: A→B funcion, y su inversa ƒ⁻¹: B→A. Si ƒ⁻¹ no es única, entonces ∃ g: B→A tal que ƒ∘g=IdB y g∘ƒ=IdA, donde IdB es la función identidad del conjunto B y IdA la función identidad del conjunto A. Luego

g=g∘IdB

g=g∘(ƒ∘ƒ⁻¹)

g=(g∘ƒ)∘ƒ⁻¹

g=IdA∘ƒ⁻¹

g=ƒ⁻¹

Por lo tanto la inversa de ƒ es única.

Demostración: Una funcion ƒ tiene inversa si y solo si es biyectiva.

Teorema: Una función ƒ: A→B tiene inversa ƒ−1: B→A si y solo si ƒ es biyectiva.

Se trata de una doble implicacion. Demostramos primeramente la implicacion de izquierda a derecha, que seria: Si ƒ tiene inversa, entonces ƒ es biyectiva.

Se debe demostrar que ƒ es biyectiva, esto es, que es inyectiva y sobreyectiva. Por tanto, demostramos primeramente que ƒ es sobreyectiva.

Si b∈B entonces ƒ(a)=b.

Sea ƒ: A→B función, por hipótesis ∃ ƒ⁻¹: B→A tal que ƒ⁻¹(b)=a, siendo a∈A y b∈B.

 ƒ−1(b)=a

Aplicando ƒ en ambos lados 

 ƒ(ƒ−1(b))=ƒ(a)

Que por definición de composición de funciones es equivalente a 

 (ƒ∘ƒ−1)(b)=ƒ(a)

Pero por definición de la función identidad ƒ∘ƒ−1: B→B, osea ƒ∘ƒ−1=IdB, donde IdB es la función identidad sobre el conjunto B. Por lo tanto

IdB(b)=ƒ(a) 

Pero IdB(b)=b, así que

 b=ƒ(a)

ƒ(a)=b 

En consecuencia ƒ es sobreyectiva.

Posteriormente demostramos que ƒ es inyectiva.

Si ƒ(x₁)=ƒ(x₂) entonces x₁=x₂.

ƒ(x₁)=ƒ(x₂)

Pero por hipótesis ∃ ƒ−1, así que la aplicamos en ambos lados de la igualdad anterior

ƒ−1(ƒ(x₁))=ƒ−1(ƒ(x₂))

Que por definición de composición de funciones es equivalente a

(ƒ−1∘ƒ)(x₁)=(ƒ−1∘ƒ)(x₂) 

Pero por definición de la función identidad

x₁=x₂ 

En consecuencia ƒ es inyectiva. Por lo tanto ƒ es biyectiva.

Ahora demostramos la doble implicación de derecha a izquierda, la implicación seria: Si ƒ es biyectiva, entonces ƒ tiene inversa.

Sea g: B→A, tal que g(b)=a si ƒ(a)=b. Luego, al ser ƒ sobreyectiva, ∀b∈B ∃a∈A, y por ser inyectiva cada a∈A tiene un único b∈B. En consecuencia

(g∘ƒ)(a)=IdA(a) y (ƒ∘g)(b)=IdB(b)

Que por definición de función inversa, g debe ser la inversa de ƒ, esto es g=ƒ−1. Por lo tanto ƒ tiene inversa.